PROGRAMA DE TUTORIA

Matemática Básica (Fundamentación Matemática I)
Tabla de Contenido
Presentación
UNIDAD 1: Calculo Proposicional
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información
1.1 PROPOSICIONES
1.2 CONECTIVOS LÓGICOS
1.2.1 La Conjunción
1.2.2 La Negación
1.2.3 La Disyunción
1.2.4 El Condicional
1.2.5 La Recíproca
1.2.6 El Bicondicional

Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 2 Métodos de Demostración
Descripción Temática
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

2.1 MÉTODO DIRECTO
2.2 MÉTODO INDIRECTO
2.3 MÉTODO DE INDUCCIÓN
2.3.1 Principio de Inducción Matemática

Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 3: Teoría de Conjuntos
Descripción Temática
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

3.1 CONJUNTOS
3.2 SUBCONJUNTOS
3.3 OPERACIONES USUALES ENTRE CONJUNTOS
3.3.1 Complemento
3.3.2 Intersección
3.3.3 Unión
3.4 POTENCIA DE UN CONJUNTO
3.5 CUANTIFICADORES




Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 4: Producto Cartesiano
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

4.1 PAREJA ORDENADA
4.2 PRODUCTO CARTESIANO

UNIDAD 5: Relaciones
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

5.1 RELACIONES
5.2 DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN
5.2.1 Por Extensión
5.2.2 Por Comprensión
5.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
5.4 OBTENCIÓN DE RELACIONES A PARTIR DE RELACIONES DADAS

Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 6: Relaciones sobre un Conjunto
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

6.1 RELACIONES EN UN CONJUNTO
6.2 RELACIONES EVENTUALES SOBRE UN CONJUNTO
6.2.1 Relación Reflexiva
6.2.2 Relación Simétrica
6.2.3 Relación Antisimétrica
6.2.4 Relación Transitiva

Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 7: Relaciones de Equivalencia
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

7.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
7.2 CLASES DE EQUIVALENCIAS Y CONJUNTO COCIENTE








Proceso de Comprensión y Análisis
UNIDAD 8: Relaciones de Orden
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Proceso de Información

8.1 RELACIONES DE ORDEN

8.2 ORDEN TOTAL

8.3 ELEMENTOS NOTABLES DE UN CONJUNTO ORDENADO

8.3.1 Cota Superior y Cota Inferior

8.3.2 Elemento Máximo y Elemento Mínimo

8.3.3 Límite Superior, Límite Inferior

8.3.4 Buen Orden

Proceso de Comprensión y Análisis

BIBLIOGRAFÍA GENERAL






















Presentación

La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”.

La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes.

Las Universidades, gestoras de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico:

Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional.

Visión: Las Universidades, al finalizar la primera década del siglo XXI, deberán ser los primeros centros de Educación Superior Colombiano.










UNIDAD 1: Cálculo Proposicional
Núcleos Temáticos y Problemáticos
• Proposiciones
• Conectivos Lógicos
Proceso de Información

1.1 PROPOSICIONES
Leer atentamente cada una de las siguientes expresiones.
1. José E. Rivera es el autor de La vorágine.
2. Las golondrinas son aves de cuatro patas.
3. Jorge Pérez descubrió América.
4. Siembra un árbol.
5. Un triángulo es un polígono que tiene tres lados.
6. ¿Quién es Usted?
7. x + 3 = 6

Algunas de estas expresiones son verdaderas, otras son falsas y otras de las que no tiene sentido decir si son verdaderas o falsas, si este es el caso diremos de ellas que son ambiguas. Pensar y señalar con una V, F, o A según corresponda.

Se habrá podido observar que existen expresiones con sentido completo, como por ejemplo la que aparece en el número 4, de las cuales no podemos afirmar si son verdaderas o son falsas. Desde el punto de vista de la Gramática estas expresiones son proposiciones, sin embargo, en matemáticas se exige además que a esta expresión se le pueda asignar un valor de verdad ( V ó F ) de una manera unívoca.

Recordar: Una proposición en Matemáticas es una afirmación con sentido completo, de la cual se puede decir si es verdadera ó falsa, aunque no se tenga manera de saber cual es el caso.

Notación. Para designar proposiciones se utilizará los símbolos p, q, r, s,....V y F significan verdadero y falso respectivamente.

Leer con atención las siguientes expresiones:
8. Patricia estudia medicina y María estudia Matemáticas.
9. Juan promete a su novia llevarla a cine, si le pagan en el trabajo.
10. Claudia no irá a la reunión a menos que su padre se lo permita.
11. Un número real es positivo si, y sólo si, es mayor que cero.
12. Si los empleados de un banco laboran y el gerente los observa, no les hace revisión de sus trabajos. Pero el gerente no los observará, a menos que haga una revisión. Por lo tanto, si los empleados trabajan el jefe no lo notará
13. Si no se elimina el contrabando, aumenta el desempleo
14. Ana tiene 15 ó 20 años. Si Ana tiene 20 años entonces nació antes que Irma. Ana no nació antes que Irma. Luego Ana tiene 15 años.

¿Puede decir cuáles de estas proposiciones son verdaderas?, ¿cuáles son falsas?, ¿Qué diferencias encuentra, entre el primer conjunto de proposiciones y las que acaba de leer?.

Obsérvese que el argumento dado en la proposición 14, es correcto. Si notamos con las letras p, q, r las proposiciones:
p : Ana tiene 15 años.
q : Ana tiene 20 años.
r : Ana nació antes que Irma.

Nótese que la proposición 14 se puede “simbolizar” de la siguiente manera:
p ó q. Si q entonces r. No r. Luego p.

De esta forma la proposición que se está considerando esta formada por algunas proposiciones simples p ,q, r las cuales están unidas por medio de algunas conjunciones “o”,”no”,”si.. entonces”,”luego”. A este tipo de expresiones las llamaremos proposiciones compuestas.

Analizar cada uno de los siguientes argumentos y determinar si son válidos ó si por el contrario no lo son.
1. Si Pedro estudia una carrera, tendrá éxito en la vida. Pedro no estudia una carrera. Por lo tanto, Pedro no tendrá éxito en la vida.
2. Si todo jugador del equipo A es buena persona y Roberto es jugador del equipo A, entonces Roberto es buena persona.
3. Invertir en finca raíz en un buen negocio y las inversiones que garantizan un 30% de ganancia anual es buen negocio, por lo tanto invertir en finca raíz garantiza una ganancia del 30% anual.

Debió observar del análisis precedente, que algunos de estos argumentos son válidos y otros no lo son. Para poder distinguir un razonamiento correcto de uno que no lo sea se dispone de un modelo básico de razonamiento, esto es de los principios de la lógica.

Desde el punto de vista de la historia de la matemática estos principios se vienen desarrollando desde Aristóteles (lógica formal) pasando por los trabajos de Leibnitz (lógica simbólica) hasta llegar al año de 1879 que con los trabajos de Frege la lógica adquiere su mayoría de edad y es elevada a la categoría de ciencia (lógica matemática) y desde este momento, existe una marcada tendencia de un grupo de matemáticos encabezados por personalidades de la talla de R. Dedekind, G. Cantor, B. Russell a reducir todos los conceptos matemáticos a conceptos puramente lógicos.
Afortunadamente son muy pocas las personas, actualmente llamados Logicistas, a los que les interesa la lógica por sí misma. El resto de las personas se interesan en la lógica por sus aplicaciones tanto en la ciencia como en situaciones de la vida diaria.
Saber aplicar la lógica consiste en determinar si una proposición es consecuencia lógica de una serie de proposiciones dadas, llamadas premisas; es decir, es saber hacer deducciones correctas.
Nota. Al desarrollar los elementos de la lógica no es de tanto interés el significado que puedan tener la s proposiciones p, q, r, como sí las relaciones que existan entre ellas. No obstante, cuando se aplica la lógica a las diversas áreas del conocimiento y a situaciones cotidianas hay que tener en cuenta tanto el significado de las proposiciones como las relaciones entre ellas

1.2 CONECTIVOS LÓGICOS
Existen ciertas expresiones que en gramática se suelen llamar conjunciones: “y”, “o”, “pero”, “Si...entonces”, “algunos”, “ninguno”, “igualmente”, ...etc. que obviamente no son proposiciones en el sentido que se le ha dado en matemáticas. Pero sin embargo, son de suma importancia en la construcción de proposiciones complejas a partir de otras proposiciones más simples. Estas partículas que se llaman conectivos lógicos sirven también para determinar el valor de verdad (V ó F) de una proposición compuesta en función de I os valores de verdad de las proposiciones componentes.

1.2.1 La Conjunción
Considerar la proposición compuesta: Patricia estudia medicina y María estudia matemáticas.
Si p, q representan las proposiciones simples
P : Patricia estudia medicina.
q : María estudia matemáticas
La proposición dada es de la forma p y q. Es costumbre en lógica simbolizar la partícula y con el símbolo ∧.
¿Cuándo será verdadera la proposición p Y q?. Obsérvese que existen 4 posibilidades:
• Patricia estudia medicina. María estudia matemáticas.
• Patricia estudia medicina. María no estudia matemáticas.
• Patricia no estudia medicina. María estudia matemáticas.
• Patricia no estudia medicina. María no estudia matemáticas.








Estas cuatro alternativas se pueden resumir en el siguiente cuadro:



Se observa que la proposición original es verdadera sólo en el caso en que tanto p como q sean verdaderas, en cualquier otro caso la proposición p ∧ q es falsa.

De esta manera el valor de verdad de la conjunción p A q se define en función
de los valores de verdad de las componentes p , q mediante la siguiente tabla:

P
<7
P ∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
1.2.2 La Negación
La negación de una proposición p, es otra proposición que se nota p, tal que si p verdadera, p es falsa, y si p es falsa p es verdadera.
Esta definición está resumida en el siguiente cuadro. p se lee: “no p”
¿Cuál será la negación de las siguientes proposiciones?:
• El carro de Marina es rojo.
• Juan canta y Nidia baila.
• No está lloviendo pero está haciendo frío.
1.2.3 La Disyunción
Otra manera de formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples es por medio de la disyunción y corresponde a las conectivas “o” ó “o lo uno o lo otro”. En el lenguaje común este conectivo tiene significados diversos.
Uno de sus sentidos es el inclusivo según el cual la proposición compuesta es verdadera mientras lo sea una de las proposiciones componentes, es en este sentido que se toma en proposiciones como la siguiente:

Te llevaré a cine o a comer helado
Analicemos esta proposición: Si la llevo a cine pero no a comer helado, le estoy cumpliendo. De la misma manera que si le compro helado pero no la llevo a cine.
De otra parte quedaré muy bien si la llevo a cine y también a comer helado. Pero quedaré muy mal si no la llevo a cine y tampoco la llevo a comer helado.

Motivados por ejemplos como el anterior, los matemáticos han adoptado como definición de la disyunción inclusiva de las proposiciones p y q, la proposición cuyos valores de verdad quedan sintetizados en la siguiente tabla
P
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
El otro sentido en el cual se usa a veces la conectiva “o” se llama exclusivo y en este sentido la proposición compuesta es verdadera sólo cuando lo es una y sólo una de las proposiciones componentes. En este sentido la proposición compuesta es falsa no solo cuando las componentes lo son, sino que también es falsa si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Este es el sentido de la”o” en proposiciones como:
• Ser o no Ser.
• Pedro está vivo o está muerto.
• Jorge se encuentra enfermo o Jaime está viajando, pero no ambas cosas a la vez.
La tabla de verdad de la disyunción exclusiva, es:

p
q
p∨q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F

En el siguiente ejemplo se muestra que el uso del conectivo “o” es superfluo, en el sentido que éste se puede escribir en función de la negación y de la conjunción^.
Ejemplo 1: El valor de verdad de la proposición p v q es el mismo valor de verdad de la proposición (p^q)

• Supongamos que p v q es una proposición verdadera. Debemos ver que la proposición (p ^q) es también verdadera. Si (p ^q) fuera falsa, entonces (p^q) debería ser verdadera, y como la conjunción es verdadera sólo en el caso en que las componentes lo son, se debe tener p es verdadera y q es verdadera, así las proposiciones simples p, q son ambas falsas, pero por la definición de la disyunción p v q debe ser falsa. Lo cual contradice nuestra suposición de que p v q fuera verdadera, por lo tanto la proposición (p^q) es también verdadera, como se quería mostrar.
• Un razonamiento similar nos muestra que si p v q es falsa, entonces el valor de verdad de (p ^ q) también es falso.
Ejercicio: Expresar la proposición p v q en términos de la conjunción y de la negación.

1.2.4 El Condicional
Además de la conjunción y de la disyunción, existe otra conectiva de proposiciones que es de mucha importancia en el estudio de las matemáticas: el condicional que corresponde a la conectiva “si...entonces”, la importancia de este conectivo se pone de manifiesto si recordamos las palabras de B. Russell”. La matemática no es más que una cadena de implicaciones” o las siguientes palabras”. La matemática es la reina de las ciencias y la condicional la reina de las matemáticas”.
Recordar: Una proposición compuesta de la forma “si p entonces q” que simbolizamos con p =q se llama condicional ó implicación.
En la proposición p=q : p: se llama antecedente o hipótesis.
q : se llama consecuente o tesis.
Analicemos la siguiente situación:
Juan le dice a su esposa: Si me gano la lotería te llevo a Europa.
Nótese que se trata de una proposición de la forma p =q, donde:
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia
Fundamentación Matemática I 9
p: Me gano la lotería.
q : Te llevo a Europa.
Se presentan únicamente 4 posibilidades:
Juan se gana la lotería y lleva a su esposa a Europa. Cumple su promesa; su proposición es verdadera. •
•
•
Juan se gana la lotería pero no lleva a su esposa a Europa. No cumplió su promesa. Su proposición es falsa.
Juan no gana la lotería pero aún así lleva a su esposa a Europa. No rompió su promesa. Su proposición es verdadera.
• Juan no gana la lotería y no lleva a su esposa a Europa. Cumplió lo prometido. Su proposición es verdadera.
Motivados por ejemplos como el anterior, el valor de verdad de la proposición p􀃆q se define por medio de la siguiente tabla de verdad:

P
q
p􀃆q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V

Nótese que las dos últimas filas de la tabla anterior nos dicen que si en una condicional, el antecedente es falso entonces p􀃆q siempre resulta verdadera. De lo cual podría llegar a pensarse, erróneamente, que a partir de una hipótesis falsa se puede deducir cualquier cosa. En relación con este punto existe una anécdota famosa debida al matemático inglés G. Hardy. En cierta ocasión Hardy afirmó en una fiesta que de una hipótesis falsa puede deducirse lo que se quiera. Un miembro del parlamento que oyó por casualidad esta observación lanzó a Hardy el siguiente reto:” 4=7. Demuestre que soy el Papa.” Hardy, luego de un momento de reflexión, contesto:” 4=7. Reste 1 de ambos miembros. Queda 3 = 6.

Dividiendo esta ecuación entre 3, resulta 1=2, o, lo que es lo mismo, 2=1. Por otro lado, es bien conocido que el Papa y usted son dos. Pero 2=1. En consecuencia, el Papa y usted son uno.”

Nota. Algunas maneras usuales de leer la proposición condicional p􀃆q son:
Si p, entonces q.
p implica q.
p es condición suficiente para q.
q es condición necesaria para p.
p sólo si q.
q si p.

Ejemplo 2: Sea la proposición:
Si la clase trabaja y el profesor lo nota, no les hará el examen. Pero el profesor no lo notará, a menos que haga un examen; por lo tanto, si la clase trabaja el profesor no lo notará.
• Simbolice la proposición anterior.
• Muestre que la conclusión se deduce formalmente de las premisas.
Solución.


Consideremos las siguientes proposiciones simples.
p : La clase trabaja.
q : El profesor nota que la clase trabaja.
r : El profesor no hace el examen.
Con estas proposiciones y con ayuda de algunos conectivos lógicos la proposición dada queda simbolizada de la siguiente manera:

• [[(p ∧q)􀃆r] ∧ [􀃆q]] 􀃆 [p􀃆q] r

Supongamos que la proposición dada es falsa. Luego por la definición dei condicional la única posibilidad es que el consecuente sea falso y el antecedente sea verdadero, esto es
p􀃆q es f(1)
[[(p ∧q)􀃆r] ∧ [􀃆q]] es V (2)
De la relación dada en (1), y nuevamente por la definicióndel condicional se tiene que
p es V (3)
q es F, esto es q es V (4)


Por otro lado como la conjunción (∧) es verdadera sólo en el caso en que las proposiciones componentes lo sean, de (2) se concluye que:
(p ∧ q)􀃆r es V (5)

•
•
􀃆q es V (6)
Teniendo en cuenta (4) y (6)
r es F (7)
De (5) y (7) se concluye que p ∧ q es Falso lo cual está en contraposición de lo que se deduce de las relaciones dadas en (3) y (4).
Así, la proposición dada en la parte (a) debe ser Verdadera.
1.2.5 La Recíproca
La recíproca de una proposición condicional p􀃆q se forma intercambiando la hipótesis y la conclusión.
condicional: p􀃆q recíproca : q􀃆p

En general, una condicional y su recíproca son proposiciones diferentes. En efecto, algunas condicionales verdaderas tienen recíprocas falsas:
Sí Juan nació en Bucaramanga entonces es Santandereano. (Verdadera)
Si Juan es Santandereano entonces nació en Bucaramanga , lo cual no es necesariamente verdadera ya que Juan pudo haber nacido, por ejemplo, en Piedecuesta.
De otro lado algunas condicionales verdaderas tienen recíprocas también verdaderas:
• Si dos lados de un triángulo son iguales, los ángulos opuestos a esos lados son iguales.
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a esos ángulos son iguales.
• Si x+10 =0 entonces x = -10
pq
Si x = -10 entonces x+10 = 0
q p

1.2.6 El Bicondicional
Si la condicional p􀃆q y su recíproca : q􀃆p son ambas verdaderas, ellas se pueden combinar en una sola proposición usando la conectiva “si y sólo si “. La proposición que se forma de esta manera se llama la bicondicional de p y q y se suele notar: p↔q.
Recordar: p ↔ q significa (p􀃆q) ∧ (q 􀃆p)
Ejercicio: Con esta definición que se ha dado de la bicondicional, ¿Cuál sería su tabla de verdad?
Algunas maneras de leer la bicondicional p↔q son:
Si p entonces q y si q entonces p. p es necesaria y suficiente para q.
p si y solo si q. p es equivalente a q.
Otra manera de formar una condicional a partir de la condicional p􀃆q es negando el antecedente y el consecuente y luego tomar la recíproca de la condicional así formada:
p 􀃆q.................p􀃆q............................q􀃆p.
La proposición q􀃆p se llama la contrarecíproca de p􀃆q.

Ejemplo 3: Considerar la proposición. Si Juan estudia entonces aprueba el curso.
Recíproca: Si Juan aprueba el curso entonces Juan estudió, Contrarecíproca: si Juan no aprueba el curso entonces Juan no estudió.

En la sección anterior se estableció que una condicional y su recíproca no tienen porqué tener los mismos valores de verdad, ¿ocurre lo mismo entre una proposición y su contrarecíproca?

Ejemplo 4: Mostrar que p􀃆q y q􀃆p tienen los mismos valores de verdad, independiente de los valores de las proposiciones p y q.
Solución: Se puede proceder como en ejemplo 1, ó elaborando una tabla de verdad, que en lógica es usada desde el año de 1920 y en la cual se considera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones p y q.


A partir de la observación de la tabla de verdad anterior se concluye entonces que.

Destacamos la equivalencia entre la condicional y su contrarecíproca, ya que como se verá en la próxima unidad, esta es la base del método de demostración por contradicción.

Los resultados obtenidos en los ejemplos 1 y 4 nos sugieren que existen proposiciones que siempre resultan ser verdaderas, estas proposiciones que se consideran como los teoremas de la lógica son llamadas tautologías.
Recordar: Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para toda asignación de valores de verdad de sus proposiciones componentes.

Ejemplo 5. Comprobar que la proposición p􀃆(p v q) es una tautología.
Si la proposición p􀃆(p v q) fuera falsa, entonces de acuerdo a la definición de la condicional se tendría que p debería ser verdadera mientras que p v q ser falsa. De otro lado si p v q es falsa, entonces se debe tener que tanto p como q deben ser ambas falsas, lo cual no puede ser ya que se había establecido que p tenía que ser verdadera. Por lo tanto la suposición de que p􀃆(p v q) es falsa no es correcta y de esta manera se debe tener que p􀃆(p v q) debe ser verdadera, independiente de los valores de verdad de las proposiciones componentes, y por lo tanto debe ser una tautología.

Una manera alternativa de proceder en este caso, es mediante la elaboración de la tabla de verdad de la proposición dada:

P
q
p v q
p􀃆(p v q)
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V

Proceso de Comprensión y Análisis
• Mostrar que cada una de las siguientes proposiciones son tautologías.

- (p↔p)
- p v q ↔ q v p
- (p ∧ q) ∧↔p ∧ (q∧r) r
- (p ∧ (p􀃆q))􀃆q
- p ∧ (q􀃆r)↔ (p ∧ q) v (p ∧q)
- (p􀃆q) ↔ p v q

• Si se sabe que la proposición (p􀃆q) ∧ (q􀃆r) es verdadera y p es falsa ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
q, r, p ∧ q q v r, (p􀃆(q v r))

• Simbolizar los siguientes argumentos y probar que la conclusión se deduce formalmente de las premisas.
- Si Pedro viene al paseo, José no vendrá a menos que Rosa venga, pero: Rosa viene sólo si Pedro no viene. Por lo tanto, José no vendrá al paseo si Pedro viene.
- Si la cooperativa no le aprueba el préstamo a Juan, éste tendrá que obtener crédito en otra parte. Pero si la cooperativa no le presta, no obtendrá crédito en ninguna parte, y si vende su negocio tendrá que irse a la ciudad a manejar taxi. Por lo tanto, si la cooperativa no le presta, Juan tendrá que irse a manejar taxi.

• Si se sabe que la proposición p􀃆q es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de su recíproca?

• Escribir la contrarecíproca y la recíproca de cada una de las siguientes expresiones:
- Si el carro de Juan es azul, entonces María baila.
- Si Andrea no juega ajedrez, entonces no puede participar en el torneo.
- Si x - 3, entonces 4x = 20